Perspective: complément

 En complément de la partie III du tutoriel sur la perspective à un point de fuite, voici un tutoriel un peu plus détaillé.

 

En premier lieu, nous allons revenir sur quelques définitions qui sont peut-être étrangères à certains. Les autres sont déjà suffisamment détaillées dans le tutoriel d'origine (point de fuite, ligne d'horizon...)

 

1. La ligne de terre

Étant donné un personnage, le spectateur, placé face à un cadre vertical. La ligne de terre est le contact entre  le cadre et le sol.

En dessin, elle est plus souvent fictive et ne sert que pour appréhender la distance entre le spectateur et l'objet à dessiner situé derrière la ligne de terre.

 

 

2. Le terrain perspectif

Le terrain perspectif est le plan situé entre la ligne de terre et la ligne d'horizon (non représentée ci-dessus). Il correspond donc au plan dans lequel est comprise la droite orange.

Ces deux notions sont importantes pour les applications à venir.

La première est assez simple, et consiste à faire entrer dans le terrain perspectif un bête carré, dont un des cotés est placé sur la ligne de terre.

Usuellement, on découpe en deux parties la feuille. La première partie, en haut, correspond au terrain perspectif, compris entre la ligne d'horizon et la ligne de terre. La deuxième partie est un plan fictif, qui correspond à l'objet vu du dessus, comme si le spectateur, plutôt que d'être placé en face de lui, le regardait depuis le ciel.

Vu du ciel, le carré a un bord sur la ligne de terre 2, qui correspond à la ligne de terre 1 vue du dessus également.

 

Pour dessiner ce carré EFGH en perspective, dans le terrain perspectif, il va falloir le déformer. Ce ne sera plus un carré au sens géométrique.

La première étape consiste à projeter tous les sommets du carré, E, F, G et H à la ligne de terre. Comme les sommets sont alignés, il n'y a que deux intersections entre la ligne de terre et les lignes qui seront dites "fuyantes". L'application suivante présentera un cas plus complexes où les cinq sommets se projetterons en des points distincts sur la ligne de terre.

 Les deux points ainsi obtenues, N et O sur la figure suivante, sont le départ des lignes fuyantes, c'est à dire des lignes qui, parallèles dans la réalité, se rejoignent au point de fuit (PDF) en dessin.

Si on fait correspondre le plan "vu du dessus" avec le terrain perspectif, on se rend compte que les deux lignes pleines et les lignes pointillées sont les mêmes, mais dessinées vu du dessus (pointillées) et en perspective (pleines).

On a alors N et O, les deux points qui marquent l'intersection entre la ligne de terre "réelle" et des deux fuyantes, comme projection des points E et F dans le terrain perspectif.

À présent que sont tracés les projetés des points E et F, on désire obtenir ceux des points H et G. Il est à rappeler qu'en perspective, les droites horizontales (c'est à dire parallèles aux lignes d'horizon et de terre) restent horizontales. Le coté H'G' projeté de HG sera donc parallèle au coté NO, les points H' et G' situés tous les deux sur leur ligne de fuite respective. mais à quelle distance de NO placer le coté H'G'?

On peut vouloir le placer ici, mais le carré apparaît déformé :

 

 

Ou encore là, où il paraît déjà plus à sa place.

Comment savoir ?

 

L'astuce consiste en l'utilisation du "point angle" (voir dans le tutoriel). Le point d'angle B ayant été choisi, on pourra construire sans se tromper le deuxième coté du carré.

On commence par reporter la distance à la ligne de terre 2 de tous les points du carré sur cette ligne de terre, comme montré ci-dessous. E et F étant situé sur la ligne de terre, la distance est de 0. Pour G et H, on trace un arc de cercle de centre "l'intersection de la perpendiculaire à la ligne de terre 2 passant par G (respectivement H) avec la ligne de terre". C'est une formulation assez pompeuse mais en pratique assez simple. ici, les deux points considérés sont E et F eux-même de par la configuration du carré.

On projette les points obtenus (P pour H et E pour G) sur la véritable ligne de terre. Ils y forment les points N (renommé E' pour plus de lisibilité) et O. On trace ensuite les fuyantes vers le point angle B passant par O et E'. Elles tracent les diagonales de carrés de taille égale à EFGH. On remarque alors que l'intersection de la fuyante (E'B) avec la fuyante (F' PDF) est en réalité le point G' projection de G dans le terrain perspectif, et que l'intersection de (OB) avec (E' PDF) donne le point H'.

 On obtient donc notre joli carré en perspective.

 On procèdera de la même manière pour obtenir les autres carrés. Plus on en fait, et plus ils deviennent aisés à construire. En effet, la construction du deuxième carré fait apparaître de nouvelles fuyantes vers PDF et B, et leurs intersections forment les points des carrés d'un carrelage.

 

 

La deuxième application est un poil plus compliquée. il s'agit ici de construire un pentagone régulier incliné GHIJK dans le terrain perspectif. Le voici vu du dessus (A=PDF et B le point angle)

On procède de la même manière que précédemment pour construire les points Gt Ht It Jt Kt projetés de G, H, I, J et K sur la ligne de terre 2 et Gt' Ht' It' Jt' Kt' projetés de G, H, I, J et K sur la ligne de terre 1.

 

On trace ensuite les arcs de cercles de centre Xt (avec X correspondant à G, H, I, J ou K) et de rayon [Xt X]. On obtient les point L, M, N, O et P, que l'on projette sur la ligne de terre 1. On obtient L', M', N', O' et P' qu'on relie par des lignes fuyantes à B.

L'étape suivante est un peu délicate, il faut que les traits soient restés propres. En effet, on doit faire correspondre les fuyantes vers B avec les bonnes fuyantes vers A. Un exemple ici avec J. L'arc de cercle partant de J donne M. Il faut donc relier la fuyante (JA) avec la fuyante (MB) et pas une autre. On procède ainsi avec tous les points. On peut alors tracer le bon polynôme dans le terrain perspectif G'H'I'J'K'...

 

 ... et recommencer...

... encore et encore.

 

Fin de ce complément ! Tout cela est bien trivial n'est-ce pas ? Ceux qui regrettent d'avoir dormi en maths lèvent la main ! Tout cela n'est que de la géométrie d'un niveau fin collège-début lycée, c'est juste le vocabulaire qui change un peu. Amusez-vous bien !

 

~ellia